Jornada Lagrange a l'FME (12-03-2014)

10 h: Lagrange y la primera formulación de la Mecánica Analítica

Luis Navarro, professor emèrit del Departament de Física Fonamental de la Universitat de Barcelona.

Joseph-Louis Lagrange (1756-1813) fue un matemático y físico de origen italiano, que realizó aportaciones notables en campos de gran actualidad en su época. En particular cabe destacar sus contribuciones a diferentes ramas del análisis matemático y a la mecánica clásica, incluyendo aplicaciones a la mecánica celeste. Tras situar al personaje en el contexto social y científico de su tiempo, nos centraremos en analizar los aspectos esenciales de su original y fructífera formulación de la mecánica —en 1788—, luego conocida como mecánica lagrangiana. Finalmente comentaremos la recepción inicial de esta obra de Lagrange por parte de algunos contemporáneos, así como su influencia en desarrollos posteriores.

11.30 h: Lagrange i la Mecànica Celeste

Gerard Gómez, catedràtic del Departament de Matemàtica Aplicada i Anàlisi de la Universitat de Barcelona.

 

Al llarg de la seva carrera científica, Lagrange va rebre cinc dels premis establerts per l’Acadèmia de Ciències de Paris: “Libration de la Lune” (1764), “Recherches sur les inégalités des satellites de Jupiter” (1766), “Essai sur le problème des trois coprs” (1772), “Sur l’équation séculaire de la Lune” (1774) i “Sur les perturbations du mouvement des comètes” (1778). Tots ells van tenir un impacte important en el desenvolupament general de la ciència i, en particular, de l’Astronomia i la Mecànica Celeste. En aquesta xerrada comentarem alguns d’aquests treballs, i de manera més detallada els relatius al moviment de la Lluna.

12.30 h: La Optimización o la aplicación del método científico a la toma de decisiones. Joseph Luis de Lagrange, ¿un precursor?

Marco Antonio López, catedràtic del Departament d’Estadística i Investigació Operativa de la Universitat d’Alacant.

 

La Optimización está presente en cualquier actividad planificada del ser humano. Las compañías aéreas planifican sus vuelos y la rotación de las tripulaciones con el afán de minimizar los costes o, lo que es equivalente, de maximizar sus beneficios. Los inversores orientan sus decisiones de forma que se minimicen los riesgos a la vez que se garanticen niveles de rentabilidad satisfactorios. En general, las industrias aspiran a una eficiencia máxima a la hora de diseñar sus productos y de organizar sus propios procesos productivos.
Por su parte la naturaleza también optimiza, y los sistemas físicos evolucionan hacia un estado de mínima energía. Las moléculas en un sistema químico aislado reaccionan entre ellas hasta que la energía potencial de sus electrones alcanza su mínimo valor. Los rayos de luz siguen aquellas trayectorias que minimizan la duración de su viaje.
Por lo tanto la Optimización puede ser considerada como el principal instrumento que el método científico pone al servicio del decisor en el momento de elegir la mejor de las posibles alternativas de que dispone frente a una decisión compleja.  En particular la Programación Lineal (optimización de una función lineal de ciertas variables de decisión sometidas a restricciones lineales) ha sido considerada el capítulo de la matemática aplicada de mayor repercusión en el siglo XX.
Cuando la función objetivo a optimizar y las restricciones en forma de igualdad son funciones generales, no necesariamente lineales, el problema al que nos enfrentamos es tradicionalmente conocido como un problema  de extremos. Joseph-Luis de Lagrange, en su celebrado libro Mécanique Analytique, introduce su método, llamado de los multiplicadores de Lagrange, para encontrar los extremos de una función con restricciones en forma de igualdad, aunque su procedimiento fue originalmente descrito como una herramienta para determinar los estados de equilibrio de un sistema dinámico. En este sentido Lagrange debe ser considerado como un destacadísimo precursor de la moderna Optimización, y así es reconocido por la comunidad científica. De hecho el origen de la moderna teoría de la Optimización se asocia a dos sucesos de especial transcendencia: la propuesta por G. Dantzig del método simplex de la Programación Lineal y la formulación de las condiciones de optimalidad de Karush-Kuhn-Tucker. Estas últimas no son otra cosa que la adaptación de la regla de los multiplicadores de Lagrange al problema con restricciones en forma de desigualdad.
Esta conferencia tiene por objeto hacer una revisión histórica de los orígenes de los principales modelos y técnicas de Optimización, poniendo especial énfasis en su interés práctico como herramienta de singular importancia en la toma de decisiones.