Vés al contingut (premeu Retorn)

sol.html

Sou a: Inici / arxius / El full / Fulls antics (1--98) / 009 / sol.html

sol.html

text/html sol.html — 5.3 KB

Continguts del fitxer

<html>
<head>
<title>SOLUCI� DEL PROBLEMA DEL FULL DE LA FME N�m.8</title>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=iso-8859-1">
<style type="text/css">
<!--
.title {  font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 14pt; text-align: center}
-->
</style>
</head>

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000">
<br /><br />
<div class="title">
  <p><b>SOLUCI� DEL PROBLEMA DEL FULL DE LA FME N�m.8</b></p>
</div>
<p>Considerem un quadrat de costat un enter positiu <i>n</i>. De la quadr&iacute;cula 
  dels <i>n^2</i> quadrats elementals, teieu-ne un a l'atzar. Esbrineu si es pot 
  enrajolar la figura resultant amb peces de tres quadrats com els de la figura:</p>
<p align="center"><img src="fig-1.gif" width="319" height="57"></p>
<p><b>Soluci�:</b></p>
<p>Girant el quadrat si cal, podem suposar que el quadrat elemental eliminat, 
  que anomenarem forat, &eacute;s en el subquadrat superior esquerra de costat 
  [<i>n/2</i>]. A m&eacute;s, per simetria, tamb&eacute; podem suposar que el 
  forat est&agrave; per sobre de la diagonal d'aquest subquadrat o b&eacute; damunt 
  mateix de la diagonal. Amb aquests sup&ograve;sits, veurem que la resposta &eacute;s:</p>
<p><i>La figura es pot enrajolar per a tot valor de n, excepte si n &eacute;s 
  m&uacute;ltiple de tres o b&eacute; si n=5 i el forat est&agrave; en una de 
  les tres posicions indicades a la figura 1:</i></p>
<p align="center"><img src="fig-2.gif" width="487" height="157"></p>
<p>Comencem per estudiar les excepcions.</p>
<p>El nombre de quadrats a enrajolar &eacute;s (<i>n^2 - 1</i>) i les peces tenen 
  &agrave;rea 3. Per tant, si es pot enrajolar la figura, el nombre (<i>n^2 - 
  1</i>) ha de ser m&uacute;ltiple de 3, la qual cosa implica que n ha de ser 
  congruent amb 1 o amb 2 m&ograve;dul 3. Per tant, si n &eacute;s m&uacute;ltiple 
  de 3 no es pot enrajolar.</p>
<p>Un estudi exhaustiu (no gaire llarg) dels tres casos de la figura 1 prova que 
  en cap d'aquestes tres situacions &eacute;s possible l'enrajolament.</p>
<p>Mirem ara la resta de casos. El Full de la FME de gener prova que, si <i>n</i> 
  &eacute;s una pot&egrave;ncia de 2, la figura es pot enrajolar. En particular, 
  per <i>n</i>=4 es pot. Per <i>n</i>=5, queden els tres casos no considerats 
  m&eacute;s amunt, que es poden enrajolar tal com s'indica a la figura 2:</p>
<p align="center"><img src="fig-3.gif" width="492" height="159"></p>
<p>El cas seg&uuml;ent a considerar &eacute;s <i>n</i>=7. Hi ha deu posicions 
  possibles del forat i aqu&iacute; tenim les deu solucions corresponents:</p>
<p align="center"><img src="fig-4.gif" width="980" height="185"></p>
<p align="center"><img src="fig-5.gif" width="988" height="210"></p>
<p>Per continuar, observem els enrajolaments de la figura 4:</p>
<p align="center"><img src="fig-6.gif" width="178" height="184"></p>
<p>Aix&ograve; comporta que tot rectangle (6 x <i>t</i>) es pot enrajolar. En 
  efecte, si <i>t</i> parell nom&eacute;s cal adjuntar <i>t</i>/2 rectangles (6 
  x 2) enrajolats; si <i>t</i> &eacute;s senar, nom&eacute;s cal adjuntar un rectangle 
  (6 x 3) i (<i>t</i>-3)/2 rectangles (6 x 2).</p>
<p>El m&egrave;tode que seguirem pels casos seg&uuml;ents consisteix a descomposar 
  cada figura en diferents parts, cadascuna de les quals sabem que &eacute;s enrajolable 
  a partir dels casos anteriors. A partir de <i>n</i>=14 aplicarem inducci&oacute;.</p>
<p>El cas seg&uuml;ent a considerar &eacute;s <i>n</i>=10. (8 &eacute;s pot&egrave;ncia 
  de 2, ja resolt, i 9 &eacute;s m&uacute;ltiple de 3). En la descomposici&oacute; 
  de la figura 5:</p>
<p align="center"><img src="fig-7.gif" width="299" height="290"></p>
<p>La regi&oacute; A &eacute;s un quadrat (7 x 7) amb un forat: es pot enrajolar. 
  Les regions B i D s&oacute;n rectangles (6 x 3) i es poden enrajolar. La regi&oacute; 
  C &eacute;s un quadrat (4 x 4) amb un forat: es pot enrajolar.</p>
<p>Per a <i>n</i>=11 considerem la descomposici&oacute; de la figura 6:</p>
<p align="center"><img src="fig-8.gif" width="323" height="311"></p>
<p>La regi&oacute; A &eacute;s un quadrat (7 x 7) amb un forat: es pot enrajolar. 
  Les regions B i D s&oacute;n rectangles (6 x 4), els quals sabem enrajolar. 
  La regi&oacute; C &eacute;s un quadrat (5 x 5) amb un forat en el v&egrave;rtex 
  superior esquerre i, per tant, es pot enrajolar.</p>
<p>El cas seg&uuml;ent &eacute;s <i>n</i>=13. Considerem la partici&oacute; de 
  la figura 7:</p>
<p align="center"><img src="fig-9.gif" width="380" height="361"></p>
<p>Les regions A i C s&oacute;n quadrats (7 x 7 ) amb un forat cadascun: es poden 
  enrajolar. Les regions B i D s&oacute;n rectangles (6 x 6), que es poden enrajolar.</p>
<p>Passem a la inducci&oacute;. Sigui <i>n</i>&gt;14 i no m&uacute;ltiple de 3, 
  i considerem la partici&oacute; de la figura 8:</p>
<p align="center"><img src="fig-10.gif" width="508" height="403"></p>
<p>La regi&oacute; A &eacute;s un quadrat ((<i>n</i>-6) x (<i>n</i>-6)) amb un 
  forat. <i>n</i>-6 no &eacute;s m&uacute;ltiple de 3 i (<i>n</i>-6)&gt;8. Per 
  tant, es pot enrajolar. Les regions B i D s&oacute;n rectangles (6 x (<i>n</i>-6)), 
  els quals es poden enrajolar. La regi&oacute; C &eacute;s un quadrat (7 x 7) 
  amb un forat i es pot enrajolar. Aix&iacute;, podem enrajolar el quadrat (<i>n</i> 
  x <i>n</i>) amb un forat.</p>
</body>
</html>