Jornada Olga Ladyzhenskaya FME 2023

Abstract: Una de las herramientas matemáticas más usadas en la modelización son las ecuaciones de difusión, que no solo están presentes en modelos físicos, químicos y biológicos, sino que aparecen en cualquier rama científica, por ejemplo, la hoy tan famosa ecuación de Black-Scholes sobre las opciones de compra europeas no es otra cosa que una ecuación de difusión donde lo que se difunde son precios.
Aunque es bien sabido que los modelos de difusión lineales basados en la ley de Fick (al igual que la ecuación del calor basada en la ley de Fourier) dan lugar a la contradicción física de una velocidad de propagación infinita, son todavía los más usados en modelización donde hay algún proceso de difusión involucrado. En algunos problemas concretos, los modelos que se obtienen usando estas ecuaciones lineales son una buena aproximación a la realidad, a pesar de la contradicción física anterior, debido a que las soluciones, aunque positivas, son muy pequeñas fuera de un compacto. Sin embargo, en muchos modelos biológicos, como por ejemplo en el transporte de morfógenos, la velocidad de propagación infinita invalida totalmente el modelo. En este charla, después de hacer un estudio histórico de los diferentes modelos de difusión, presentamos algunos de los resultados que hemos obtenido sobre una ecuación de difusión propuesta por Ph. Rosenau, e independientemente por Y. Brenier. Dicha ecuación, denominada por Y. Brenier como ecuación relativista del calor, tiene velocidad de propagación finita y, lo que es más interesante, la velocidad máxima de propagación es un parámetro de la ecuación, con lo que la podemos predeterminar según la naturaleza del problema que estemos estudiando.

J.M. Mazón es catedrático de Análisis Matemático de la Universidad de Valencia. Comenzó su carrera investigadora trabajando en Análisis Funcional. Desde 1990 su investigación ha estado centrada en el estudio de diversas Ecuaciones en Derivadas Parciales no Lineales. Sus trabajos sobre el flujo variación total, realizados en colaboración con F. Andreu y V. Caselles, recopilados en la monografía “Parabolic Quasilinear Equations Minimizing Linear Growth Functionals”, Birkhauser -Verlag, 2004, fue merecedora del premio Ferran Sunyer i Balaguer 2003. En colaboración con F. Andreu, J. Rossi y J. Toledo ha estudiado distintos problemas no lineales y no locales de difusión, resultados   recopilados en la monografía “Nonlocal Diffusion Problems” Math. Surveys and Monographs, 165 (2010). Ha publicado, en colaboración con J. Rossi y J. Toledo la monografía “Nonlocal Perimeter, Curvature and Minimal Surfaces for Measurable Sets” Frontiers in Mathematics, Birkhäuser, 2019, y recientemente, en colaboración con M. Solera and J. Toledo}, la monografía “Variational and Diffusion Problems in Random Walk Spaces”. Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications (Birkhäuser) 2023.

Abstract: So called Schauder estimates are a classical fact in the theory of elliptic and parabolic PDEs. The basic problem they answer to is how the regularity of coefficients of equations reflects in the regularity of solutions. In the uniformly elliptic case this is a perturbative theory, in the sense that the main results can be obtained using as reference estimates those valid for equations without coefficients and making small perturbations. In the nonuniformly elliptic setting, as the one for instance fixed by Ladyzhenskaya & Uraltseva in the sixties and later on developed by many authors, Schauder estimates are not perturbative by counterexamples (there are elliptic problems with Hölder coefficients and discontinuous solutions). In this talk, we address the problem of validity of Schauder theory for nonuniformly elliptic equations and non-differentiable integral functionals. From recent, joint work with Cristiana De Filippis (Parma). 

Giuseppe Mingione was born in Caserta 1972 and has been full professor of mathematics at the University of Parma since 2006. He works on regularity theory for solutions to elliptic and parabolic PDE, with special emphasis on problems coming from the Calculus of Variations. He lives with cat Nina, so named after Nina Uraltseva.