Considerem un quadrat de costat un enter positiu n. De la quadrícula dels n^2 quadrats elementals, teieu-ne un a l'atzar. Esbrineu si es pot enrajolar la figura resultant amb peces de tres quadrats com els de la figura:

Solució:

Girant el quadrat si cal, podem suposar que el quadrat elemental eliminat, que anomenarem forat, és en el subquadrat superior esquerra de costat [n/2]. A més, per simetria, també podem suposar que el forat està per sobre de la diagonal d'aquest subquadrat o bé damunt mateix de la diagonal. Amb aquests supòsits, veurem que la resposta és:

La figura es pot enrajolar per a tot valor de n, excepte si n és múltiple de tres o bé si n=5 i el forat està en una de les tres posicions indicades a la figura 1:

Comencem per estudiar les excepcions.

El nombre de quadrats a enrajolar és (n^2 - 1) i les peces tenen àrea 3. Per tant, si es pot enrajolar la figura, el nombre (n^2 - 1) ha de ser múltiple de 3, la qual cosa implica que n ha de ser congruent amb 1 o amb 2 mòdul 3. Per tant, si n és múltiple de 3 no es pot enrajolar.

Un estudi exhaustiu (no gaire llarg) dels tres casos de la figura 1 prova que en cap d'aquestes tres situacions és possible l'enrajolament.

Mirem ara la resta de casos. El Full de la FME de gener prova que, si n és una potència de 2, la figura es pot enrajolar. En particular, per n=4 es pot. Per n=5, queden els tres casos no considerats més amunt, que es poden enrajolar tal com s'indica a la figura 2:

El cas següent a considerar és n=7. Hi ha deu posicions possibles del forat i aquí tenim les deu solucions corresponents:

Per continuar, observem els enrajolaments de la figura 4:

Això comporta que tot rectangle (6 x t) es pot enrajolar. En efecte, si t parell només cal adjuntar t/2 rectangles (6 x 2) enrajolats; si t és senar, només cal adjuntar un rectangle (6 x 3) i (t-3)/2 rectangles (6 x 2).

El mètode que seguirem pels casos següents consisteix a descomposar cada figura en diferents parts, cadascuna de les quals sabem que és enrajolable a partir dels casos anteriors. A partir de n=14 aplicarem inducció.

El cas següent a considerar és n=10. (8 és potència de 2, ja resolt, i 9 és múltiple de 3). En la descomposició de la figura 5:

La regió A és un quadrat (7 x 7) amb un forat: es pot enrajolar. Les regions B i D són rectangles (6 x 3) i es poden enrajolar. La regió C és un quadrat (4 x 4) amb un forat: es pot enrajolar.

Per a n=11 considerem la descomposició de la figura 6:

La regió A és un quadrat (7 x 7) amb un forat: es pot enrajolar. Les regions B i D són rectangles (6 x 4), els quals sabem enrajolar. La regió C és un quadrat (5 x 5) amb un forat en el vèrtex superior esquerre i, per tant, es pot enrajolar.

El cas següent és n=13. Considerem la partició de la figura 7:

Les regions A i C són quadrats (7 x 7 ) amb un forat cadascun: es poden enrajolar. Les regions B i D són rectangles (6 x 6), que es poden enrajolar.

Passem a la inducció. Sigui n>14 i no múltiple de 3, i considerem la partició de la figura 8:

La regió A és un quadrat ((n-6) x (n-6)) amb un forat. n-6 no és múltiple de 3 i (n-6)>8. Per tant, es pot enrajolar. Les regions B i D són rectangles (6 x (n-6)), els quals es poden enrajolar. La regió C és un quadrat (7 x 7) amb un forat i es pot enrajolar. Així, podem enrajolar el quadrat (n x n) amb un forat.